Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，$f（\frac{1}{2}）=2$，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b滿足f（a+b）=f（a）+f（b）-1，當(dāng)$x＞-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）＞0．
（1）求$f（-\frac{1}{2}）$的值；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；
（3）求證：f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出f（0）=1，再求出求$f（-\frac{1}{2}）$的值；
（2）設(shè)x＞0，則x-$\frac{1}{2}$$＞-\frac{1}{2}$，利用f（x）=f[（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]=f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-1＞f（$\frac{1}{2}$）-1，即可證明；
（3）設(shè)x₂＞x₁，則x₂-x₁＞0，且f（x₂）-f（x₁）=$f[{x_1}+（{x_2}-x_1^{\;}）]-f（{x_1}）$，即可證明．

解答 （1）解：令a=b=0，則f（0）=f（0）+f（0）-1，∴f（0）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$）-1=0，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=1-f（$\frac{1}{2}$）=-1；
（2）證明：設(shè)x＞0，則x-$\frac{1}{2}$$＞-\frac{1}{2}$，
∴f（x）=f[（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]=f（x-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）-1＞f（$\frac{1}{2}$）-1=1；
（3）證明：設(shè)x₂＞x₁，則x₂-x₁＞0，且f（x₂）-f（x₁）=$f[{x_1}+（{x_2}-x_1^{\;}）]-f（{x_1}）$
=$f（{x_1}）+f（{x_2}-x_1^{\;}）-1-f（{x_1}）$=$f（{x_2}-x_1^{\;}）-1＞0$，
所以f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，考查賦值法的運(yùn)用，正確賦值是關(guān)鍵．