Question

11．若直線3x-4y+5=0與圓x²+y²=r²（r＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則圓的面積為4π．

Answer 1

分析 若直線3x-4y+5=0與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A、B兩點(diǎn)，∠AOB=120°，則△AOB為頂角為120°的等腰三角形，頂點(diǎn)（圓心）到直線3x-4y+5=0的距離d=$\frac{1}{2}$r，代入點(diǎn)到直線距離公式，可構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程可得答案．

解答 解：若直線3x-4y+5=0與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
且∠AOB=120°，
則圓心（0，0）到直線3x-4y+5=0的距離d=rcos60°=$\frac{1}{2}$r，
即$\frac{5}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{1}{2}$r，
解得r=2，
∴圓的面積為4π．
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，其中分析出圓心（0，0）到直線3x-4y+5=0的距離d=$\frac{1}{2}$r是解答的關(guān)鍵．