Question

8．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+4），且f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)．已知x₁+x₂＜4且（x₁-2）•（x₂-2）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　�。�

• A． 恒小于0
• B． 恒大于0
• C． 可能等于0
• D． 可正也可負(fù)

Answer 1

分析 根據(jù)f（-x）=-f（x+4）便可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）中心對(duì)稱，從而便知f（x）在R上單調(diào)遞增，從而可以畫出草圖，而由（x₁-2）（x₂-2）＜0知，x₁，x₂位于（2，0）的兩邊．不妨設(shè)x₁＜x₂，再由x₁+x₂＜4可得到（x₁-2）+（x₂-2）＜0，從而x₁離（2，0）的距離大于x₂離（2，0）的距離，這樣根據(jù)圖象即可判斷f（x₁）+f（x₂）的取值情況．

解答 解：f（-x）=-f（x+4）；
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱；
又f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；
∴f（x）在R上為增函數(shù)，畫出f（x）的草圖如下：

（x₁-2）（x₂-2）＜0；
∴x₁-2和x₂-2異號(hào)；
即x₁，x₂位于點(diǎn)（2，0）的兩側(cè)，不妨設(shè)x₁＜x₂；
x₁+x₂＜4；
∴（x₁-2）+（x₂-2）＜0；
∴x₁離點(diǎn)（2，0）更遠(yuǎn)，根據(jù)圖象可以看出f（x₁）+f（x₂）＜0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查中心對(duì)稱的概念，由f（-x）=-f（x+a）能夠知道f（x）關(guān)于$（\frac{a}{2}，0）$對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱的函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，畫出草圖是求解本題的關(guān)鍵．