Question

3．已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸端點分別為A₁，A₂，記雙曲線的其中的一個焦點為F，一個虛軸端點為B，若在線段BF上（不含端點）有且僅有兩個不同的點P_i（i=1，2），使得∠A₁P_iA₂=$\frac{π}{2}$，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}+1}{2}$）
• C． （1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出直線BF的方程為cx+by-bc=0，利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合a＜b，即可求出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答 解：由題意可設(shè)F（0，c），B（b，0），則直線BF的方程為cx+by-bc=0，
∵在線段BF上（不含端點）有且只有不同的兩點P_i（i=1，2），使得∠A₁P_iA₂=$\frac{π}{2}$，
∴線段BF與以A₁A₂為直徑的圓相交，即$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$＜a，化為b²c²＜a⁴，
又b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，
∴e⁴-3e²+1＜0，解得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜e²＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，又e＞1
∴1＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∵在線段BF上（不含端點）有且僅有兩個不同的點P_i（i=1，2），使得∠A₁P_iA₂=$\frac{π}{2}$，
可得a＜b，
∴a²＜c²-a²，解得e＞$\sqrt{2}$，
綜上得，$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查離心率的范圍，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．