Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點(diǎn)M（b，0）且斜率為1的直線與橢圓交于點(diǎn)A、B，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{32}{5}$cot∠AOB，則該橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，設(shè)a=2t，則c=$\sqrt{3}$t，b=t，t＞0．即有橢圓方程為x²+4y²=4t²，設(shè)直線方程為x=t+y，代入橢圓方程可得，5y²+2ty-3t²=0，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量的數(shù)量積的定義，可得S_△AOB=$\frac{16}{5}$，S_△AOB=S_△AOM+S_△MOB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|，計(jì)算即可得到t=2，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，設(shè)a=2t，則c=$\sqrt{3}$t，b=t，t＞0．
即有橢圓方程為x²+4y²=4t²，
設(shè)過點(diǎn)M（b，0）且斜率為1的直線為y=x-t，即為x=t+y，
代入橢圓方程可得，5y²+2ty-3t²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-$\frac{2}{5}$t，y₁y₂=-$\frac{3}{5}$t²，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4{t}^{2}}{25}+\frac{12{t}^{2}}{5}}$=$\frac{8t}{5}$，
由$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{32}{5}$cot∠AOB=$\frac{32}{5}$•$\frac{cos∠AOB}{sin∠AOB}$，
即有|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos∠AOB=$\frac{32}{5}$•$\frac{cos∠AOB}{sin∠AOB}$，
可得$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|sin∠AOB=$\frac{16}{5}$，
即S_△AOB=$\frac{16}{5}$，
由S_△AOB=S_△AOM+S_△MOB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$t•$\frac{8t}{5}$=$\frac{16}{5}$，
解得t=2，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．