【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:

比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;

2)如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000,即勝利者贏得對方1000,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望.

【答案】10.72;(2.

【解析】

1)田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬獲勝的概率為,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬獲勝的概率為,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬獲勝的概率為.由題意求解即可.

2)根據(jù)比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),在某月的比賽中田忌獲勝,則三場比賽中,田忌輸贏的分布為:勝勝勝,負勝勝,勝負勝,勝勝負,求出該月的比賽中田忌獲勝的概率以及該月賽馬獲利得期望,再求解一年的獲利期望,即可.

1)記事件:按孫臏的策略比賽一次,田忌獲勝,

對于事件,三場比賽中,由于有一場比賽田忌必輸,另兩場都勝,

.

2)設(shè)田忌在每次比賽中所得的獎金為隨機變量(金),則的取值為,

若在某月的比賽中田忌獲勝,則三場比賽中,田忌輸贏的分布為:勝勝勝,負勝勝,勝負勝,勝勝負.

設(shè)在該月的比賽中田忌獲勝的概率為,則

,

,

因此田忌一年賽馬獲利的數(shù)學期望為(金).

練習冊系列答案
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