已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π
（1）若|
OA
+
OC
|=
7
，求
OB
與
OC
的夾角；
（2）若AC⊥BC，求tanα的值．
分析：（1）利用向量的坐標運算求出
OA
+
OC
；利用向量模的坐標公式得到三角函數(shù)方程，求出α；求出兩個向量的夾角．
（2）利用向量的坐標公式求出兩個向量的坐標；利用向量垂直的充要條件列出方程求出cosa+sina=
1
2
；利用三角函數(shù)的平方關系將此等式平方求出cosα-sinα；求出sinα，cosα；利用三角函數(shù)的商數(shù)關系求出tanα．
解答：解：（1）∵
OA
+
OC
=（2+cosα，sinα），|
OA
+
OC
|=
7

∴（2+cosα）2+sin2a=7，
∴cosα=
1
2
又α∈（0，π），
∴α=
π
3
，即∠AOC=
π
3

又∠AOB=
π
2
，∴OB與OC的夾角為
π
6
；
（2）
AC
=（cosα-2，sinα），
BC
=（cosα，sinα-2），
∵AC⊥BC，∴
AC
•
BC
=0，cosα+sinα=
1
2
①
∴（cosα+sinα）2=
1
4
，∴2sinαcosα=-
3
4

∵α∈（0，π），∴α∈（
π
2
，π），
又由（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=
7
4
，cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=-
7
2
②由①、②得cosα=
1-
7
4
，sinα=
1+
7
4
，
從而tanα=-
4+
7
3
．
點評：本題考查向量模的坐標公式、考查向量垂直的充要條件、考查三角函數(shù)的平方關系、商數(shù)關系、
考查cosα+sinα、cosα-sinα、2sinαcosα三者知二求一．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，已知A（-
2
，0），B（
2
，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心為H，且
CD
=2
CH
．
（Ⅰ）求點H的軌跡方程；
（Ⅱ）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G，H（點G在F，H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左右頂點，F(xiàn)（1，0）為其右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程及離心率；
（Ⅱ）過點A的直線l與橢圓C的另一個交點為P（不同于A，B），與橢圓在點B處的切線交于點D．當直線l繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且α∈（0，π）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
7
，求
OB
與
OC
的夾角的余弦值．
（2）若
AC
⊥
BC
，求tanα的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|，E為AC上一點，且
AE
=λ
EC
．又以A、B為焦點的雙曲線過C、D、E三點．若λ∈[
2
3
，
3
4
]，則雙曲線離心率e的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（2，0），B（3，3），直線l⊥AB，則直線l的斜率k=（　�。�
A、-3
B、3
C、-
1
3
D、
1
3

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