【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+ )﹣ sin2x+sinxcosx.
(1)當x∈[0, ]時,求f(x)的值域;
(2)用五點法在圖中作出y=f(x)在閉區(qū)間[﹣ , ]上的簡圖;
(3)說明f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到?

【答案】
(1)解:∵f(x)=2cosxsin(x+ )﹣ sin2x+sinxcosx

=sin2x+ cos2x

=2sin(2x+ ),

∵x∈[0, ],2x+ ∈[ , ],

∴f(x)=2sin(2x+ )∈[﹣ ,2].


(2)解:列表:

2x+

0

π

x

y

0

2

0

﹣2

0

作圖:


(3)解:把y=sinx的圖象向左平移 個單位,可得函數(shù)y=sin(x+ )的圖象;

再把所得圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍,可得函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象;

再把所得圖象上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,可得函數(shù)y=2sin(2x+ )的圖象.


【解析】(1)由條件利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=2sin(2x+ ),由x∈[0, ]根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域即可得解.(2)用五點法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個周期上的簡圖.(3)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,可得結(jié)論.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用五點法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握描點法及其特例—五點作圖法(正、余弦曲線),三點二線作圖法(正、余切曲線);圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)的圖象.

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