【題目】如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的閏面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點.
(1)求證:BM∥平面ADEF;
(2)求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:取DE中點N,連接MN,AN
在△EDC中,M、N分別為EC,ED的中點,所以MN∥CD,且MN= CD.
由已知AB∥CD,AB= CD,所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN
又因為AN平面ADEF,
且BM平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF.
(2)解:以D為原點,DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.
B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),平面ADEF的一個法向量為 =(0,1,0).
設 =(x,y,z)為平面BEC的一個法向量,因為 =(﹣2,2,0), =(0,﹣4,2)
∴ 令x=1,得y=1,z=2
所以 =(1,1,2)為平面BEC的一個法向量
設平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ
則cosθ= =
所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為
【解析】(1)取DE中點N,連接MN,AN,由三角形中位線定理,結合已知中AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,易得四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN,再由線面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;(2)以D為原點,DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量,代入向量夾角公式,即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值.
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+ )﹣ sin2x+sinxcosx.
(1)當x∈[0, ]時,求f(x)的值域;
(2)用五點法在圖中作出y=f(x)在閉區(qū)間[﹣ , ]上的簡圖;
(3)說明f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了促進學生的全面發(fā)展,鄭州市某中學重視學生社團文化建設,現(xiàn)用分層抽樣的方法從“話劇社”,“創(chuàng)客社”,“演講社”三個金牌社團中抽取6人組成社團管理小組,有關數(shù)據(jù)見表(單位:人):
社團名稱 | 成員人數(shù) | 抽取人數(shù) |
話劇社 | 50 | a |
創(chuàng)客社 | 150 | b |
演講社 | 100 | c |
(1)求a,b,c的值;
(2)若從“話劇社”,“創(chuàng)客社”,“演講社”已抽取的6人中任意抽取2人擔任管理小組組長,求這2人來自不同社團的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,兩圓內(nèi)切于點T,大圓的弦AB切小圓于點C.TA,TB與小圓分別相交于點E,F.FE的延長線交兩圓的公切線TP于點P.
求證:(1) =;
(2)AC·PF=BC·PT.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, , 平面, .
(1)設點為的中點,求證: 平面;
(2)線段上是否存在一點,使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,試確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程.
(2)求函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間.
(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的最小值,并求使y=f(x)取得最小值時的x的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質量檢測,每一件一等品都能通過檢測,每一件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(1)隨機選取1件產(chǎn)品,求能夠通過檢測的概率;
(2)隨機選取3件產(chǎn)品,其中一等品的件數(shù)記為,求的分布列及數(shù)學期望..
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,若滿足f(1)=
(1)求實數(shù)a的值;
(2)證明:f(x)為奇函數(shù).
(3)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調性.
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