Question

2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB=3，$AD=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，P點在底面ABCD內的射影E在線段AB上，且PE=2，BE=2EA，M在線段CD上，且$CM=\frac{2}{3}CD$． 
（Ⅰ）證明：CE⊥平面PAB；
（Ⅱ）在線段AD上確定一點F，使得平面PMF⊥平面PAB，并求三棱錐P-AFM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理得EC=2，從而BE⊥EC，由PE⊥平面ABCD，得PE⊥EC，由此能證明CE⊥平面PAB．
（Ⅱ）取F是AD的中點，作AN∥EC交CD于點N，則AN∥EC．推導出FM∥EC，從而平面PFM⊥平面PAB，由此能求出三棱錐P-AFM的體積．

解答 證明：（Ⅰ）在△BCE中，BE=2，$BC=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，由余弦定理得EC=2．
所以BE²+EC²=BC²，從而有BE⊥EC．…（2分）
由PE⊥平面ABCD，得PE⊥EC．…（4分）
所以CE⊥平面PAB．…（5分）
解：（Ⅱ）取F是AD的中點，作AN∥EC交CD于點N，
則四邊形AECN為平行四邊形，CN=AE=1，則AN∥EC．
在△AND中，F(xiàn)，M分別是AD，DN的中點，則FM∥AN，所以FM∥EC．
因為CE⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB．
又FM?平面PFM，所以平面PFM⊥平面PAB．…（9分）
${S_{△AFM}}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\frac{1}{3}•3•sin{45°}=\frac{1}{2}$．…（10分）
V=$\frac{1}{3}{S_{△AFM}}•PE=\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．