Question

12．如圖四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點，PA=AB=2，∠BAD=120°．
（1）證明：EF∥平面PCD；
（2）求EF與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證EF∥平面PCD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PCD內(nèi)一直線平行即可，連接BD，根據(jù)中位線可知EF∥PD，而EF不在平面PCD內(nèi)，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）連接PE，根據(jù)題意可知BD⊥AC，又PA⊥平面ABC，則PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，根據(jù)線面所成角的定義可知∠EPD是PD與平面PAC所成的角，而EF∥PD，則EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD，在Rt△PED中，求出此角即可．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連接BD，則E是BD的中點．
又F是PB的中點，
所以EF∥PD．
因為EF不在平面PCD內(nèi)，
所以EF∥平面PCD．（6分）
（Ⅱ）解：連接PE．
因為ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BD．
因此BD⊥平面PAC．
因為EF∥PD，
EF與平面PAC所成角就是PD與平面PAC所成的角．
故∠EPD是PD與平面PAC所成的角．
所以EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．
因為PA=AB=2，∠BAD=120°，DE=$\sqrt{3}$，PE=$\sqrt{5}$．
在Rt△PED中，PD=2$\sqrt{2}$．
sin∠EPD=$\frac{DE}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
所以EF與平面PAC所成角的所成角的正弦值為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．（14分）

點評 本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，線面角大小計算，同時考查空間想象能力和推理論證能力．