Question

11．拋物線C₁：y²=2px（p＞0）與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，\;b＞0）$交于A，B兩點，C₁與C₂的兩條漸近線分別交于異于原點的兩點C，D，且AB，CD分別過C₂，C₁的焦點，則$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)CD過C₁的焦點，可得b=2a，根據(jù)AB過C₂的焦點，可得A的坐標，結(jié)合A（c，4a）在C₁上，求出a，p的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，CD過C₁的焦點，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，得x_C=$\frac{p}{2}$，∴b=2a；
由AB過C₂的焦點，得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），即A（c，4a），
∵A（c，4a）在C₁上，
∴16a²=2pc，
又c=$\sqrt{5}$a，
∴a=$\frac{\sqrt{5}p}{8}$，
∴$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{4a}{p}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線、拋物線的簡單性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．