Question

1．若數(shù)列{a_n}滿足“對任意正整數(shù)n，$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$恒成立”，則稱數(shù)列{a_n}為“差非增數(shù)列”．
給出下列數(shù)列{a_n}，n∈N^*：
①a_n=2ⁿ+$\frac{1}{n}$+1，②a_n=n²+1，③a_n=2n+1，④a_n=ln$\frac{n}{n+1}$，⑤a_n=2n+$\frac{1}{n}$．
其中是“差非增數(shù)列”的有③④（寫出所有滿足條件的數(shù)列的序號）．

Answer 1

分析 把$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$恒成立化為a_n+a_n+2≤2a_n+1恒成立，然后逐一驗證5個數(shù)列得答案．

解答 解：①若a_n=2ⁿ+$\frac{1}{n}$+1為“差非增數(shù)列”，則${2}^{n}+\frac{1}{n}+1+{2}^{n+2}+\frac{1}{n+2}+1≤2（{2}^{n+1}+\frac{1}{n+1}+1）$恒成立，
即${2}^{n}≤\frac{-2}{n（n+1）（n+2）}$恒成立，此式顯然不正確，①不是“差非增數(shù)列”；
②若a_n=n²+1為“差非增數(shù)列”，則n²+1+（n+2）²+1≤2（n+1）²+2，
即2≤0恒成立，此式顯然不正確，②不是“差非增數(shù)列”；
③若a_n=2n+1為“差非增數(shù)列”，則2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，
即0≤0恒成立，此式顯然正確，③是“差非增數(shù)列”；
④若a_n=ln$\frac{n}{n+1}$為“差非增數(shù)列”，則ln$\frac{n}{n+1}$+ln$\frac{n+2}{n+3}$≤2ln$\frac{n+1}{n+2}$，
即$\frac{n}{n+1}•\frac{n+2}{n+3}≤（\frac{n+1}{n+2}）^{2}$恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式顯然正確，④是“差非增數(shù)列”；
⑤若a_n=2n+$\frac{1}{n}$為“差非增數(shù)列”，則$（2n+\frac{1}{n}）+[2（n+2）+\frac{1}{n+2}]$$≤2[2（n+1）+\frac{1}{n+1}]$，
即2≤0恒成立，此式顯然不正確，②不是“差非增數(shù)列”．
故答案為：③④．

點評 本題是新定義題，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了計算能力，是中檔題．