已知矩陣A=
12
-14
，向量
a
=
7
4
．
（1）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
（2）求A5
α
的值．
分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）利用特征向量的性質(zhì)計算，先利用特征向量表示向量
α
，后將求A5
α
的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計算問題．
解答：解：（1）矩陣A的特征多項式為f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
當(dāng)λ1=2時，得
α1
=
2
1
，當(dāng)λ2=3時，得
α2
=
1
1
．（7分）
（2）由
α
=m
α1
+n
α2
得
2m+n=7
m+n=4
，得m=3，n=1．
∴A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
=3(
λ
5
1
α1
)+
λ
5
2
α2
=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
．（15分）
點(diǎn)評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于向量中的基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
12
-14
．（1）求A特征值λ1，λ2及對應(yīng)的特征向量
α1
，
α2
．（2）求A5
3
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

（1）求A的逆矩陣A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）（選修4-2 矩陣與變換）已知矩陣A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程求極坐標(biāo)系中，圓ρ=2上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5；不等式選講知x，y，z為正實數(shù)，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）已知矩陣A=
12
-14
，求A的特征值λ1、λ2及對應(yīng)的特征向量α1、α2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2；矩陣與變換
已知矩陣A=
.
12
-14
.
，向量a=
.
4 
7 
.

（I）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量a1、a2；
（Ⅱ）求A5α的值．

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同步練習(xí)冊答案