Question

5．在平面直角坐標系中，已知△PF₁F₂的兩個頂點為F₁（-$\sqrt{2}$a，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$a，0）（a＞0），頂點P在曲線C上運動，△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸的切點為A，滿足|AF₁|-|AF₂|=2a．
（1）設(shè)D（m，n）為曲線C上一點，試判斷直線l：mx-ny=a²與曲線C的位置關(guān)系；
（2）過曲線C上任意兩個不同點M，N分作C的切線l₁，l₂，若l₁與l₂的交點為E，試探究：對于任意的正實數(shù)a，直線OE（O是原點）是否經(jīng)過MN的中點G？

Answer 1

分析 （1）設(shè)PF₁、PF₂與圓的切點分別為R、S，推導(dǎo)出點P的軌跡是以A為項點，2a為實軸，F(xiàn)₁、F₂為焦點的雙曲線的右半支（項點A除外），由此能求出曲線C的方程，由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}={a}^{2}}\\{mx-ny={a}^{2}}\end{array}\right.$，得（m²-n²）y²-2na²y+m²a²-a⁴=0，從而得到y(tǒng)²-2ny+m²-a²=0，由此利用根的判別式得到直線l：mx-ny=a²與曲線C相切．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則切線l₁的方程為${x}_{1}x-{y}_{1}y={a}^{2}$，切線l₂的方程為${x}_{2}x-{y}_{2}y={a}^{2}$，求出直線OE的方程為y=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}x$，由此能推導(dǎo)出直線OE恒過MN的中點G．

解答 解：（1）如圖，設(shè)PF₁、PF₂與圓的切點分別為R、S，
則有|PR|=|PS|，|RF₁|=|AF₁|，|SF₂|=|AF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|AF₁|-|AF₂|=2a，
∴點P的軌跡是以A為項點，2a為實軸，F(xiàn)₁、F₂為焦點的雙曲線的右半支（項點A除外），
設(shè)雙曲線的虛半軸為b，則c=$\sqrt{2}a$，b²=c²-a²=2a²-a²=a²，
∴曲線C的方程為x²-y²=a²（x＞a），
∵D（m，n）為曲線C上的點，
∴m²-n²=a²，且m＞a，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}={a}^{2}}\\{mx-ny={a}^{2}}\end{array}\right.$，消去x，得：
（m²-n²）y²-2na²y+m²a²-a⁴=0，
將m²-n²=a²代入，得：
a²y²-2na²y+m²a²-a⁴=0，
即y²-2ny+m²-a²=0，①
方程①的判別式：
△=（-2n）²-4（m²-a²）=4（n²-m²-a²）=4（a²-a²）=0，
∴方程①有重根，
∴直線l：mx-ny=a²與曲線C相切．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由（1）得：
切線l₁的方程為${x}_{1}x-{y}_{1}y={a}^{2}$，②
切線l₂的方程為${x}_{2}x-{y}_{2}y={a}^{2}$，③
設(shè)l₁與l₂的交點為E（x₀，y₀），分別代入②③，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{0}-{y}_{1}{y}_{0}={a}^{2}}\\{{x}_{2}{x}_{0}-{y}_{2}{y}_{0}={a}^{2}}\end{array}\right.$，兩式相減，得：（x₁-x₂）x₀-（y₁-y₂）y₀=0，
由雙曲線性質(zhì)，得x₀≠0，
∴直線OE的斜率${k}_{0}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
∴直線OE的方程為y=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}x$，④
另一方面，點M，N的坐標分別滿足${{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}={a}^{2}$和${{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}={a}^{2}$，
相減，得：$（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）-（{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}）=0$，
∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，⑤
由④⑤知，MN的中點G（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）在直線OE上，
∴直線OE恒過MN的中點G．

點評 本題考查直線與曲線的位置的判斷，考查直線是否過線段中點的探究，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、切線方程、點差法的合理運用．