【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2 , 其中Sn為數(shù)列{an}的前n和.
(1)求證:an2=2Sn﹣an;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(3)設(shè)bn=3n+(﹣1)n﹣1λ2 (λ為非零整數(shù),n∈N*)試確定λ的值,使得對(duì)任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.
【答案】
(1)解:(1)證明:由已知得,當(dāng)n=1時(shí),
∴a1>0,∴a1=1
當(dāng)n≥2時(shí),a13+a23+a33+…+an3=Sn2,…①
a13+a23+a33+…+an﹣13=Sn﹣12,…②
①﹣②得 =an(sn+sn﹣1)
∵an>0,∴
又∵sn﹣1=sn﹣an,∴an2=2Sn﹣an;
當(dāng)n=1時(shí),a1=1適合上式.
綜上,an2=2Sn﹣an
(2)解:由(1)得an2=2Sn﹣an…③
當(dāng)n≥2時(shí),an﹣12=2Sn﹣1﹣an﹣1…④
③﹣④得 =2(sn﹣sn﹣1)﹣an+an﹣1=an+an﹣1
∵an>0,∴an﹣an﹣1=1
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列.
∴an=n;
(3)解:∵an=n,∴bn=3n+(﹣1)n﹣1λ2 =3n+(﹣1)n﹣1λ2n.
要使bn+1>bn成立.即 ﹣(﹣1)n﹣1λ2n
=23n﹣3λ(﹣1)n﹣12n>0成立.
可得(﹣1)n﹣1λ 恒成立.
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), ,即
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), ,∴ .
∴ ,且λ為非零整數(shù),∴λ=﹣1.
【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)可得a1的值,當(dāng)n時(shí),利用an=Sn-可得an2=2Sn﹣an;(2)當(dāng)n時(shí),利用an=Sn-和平方差公式可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,進(jìn)而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(3)先由題意可得(﹣1)n﹣1λ < ( ) n 1 恒成立,再對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)討論,可得λ的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)﹣ .
(Ⅰ)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 12 | 14.9 | 11.9 | 9 | 12.1 |
經(jīng)長(zhǎng)期觀察,函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.⑴求的解析式;⑵設(shè)水深不小于米時(shí),輪船才能進(jìn)出港口。某輪船在一晝夜內(nèi)要進(jìn)港口靠岸辦事,然后再出港。問(wèn)該輪船最多能在港口停靠多長(zhǎng)時(shí)間?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},a1=2,a2=6,且滿(mǎn)足=2(n≥2且n∈N+)
(1)證明:新數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列,并求出an的通項(xiàng)公式
(2)令bn=,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,證明:S2n-Sn<5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+1,若至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m,使得f(﹣m),f(1)、f(m+2)成等差數(shù)列,則過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=f(x)的切線可以作( )
A.3條
B.2條
C.1條
D.0條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中不正確的是________.(填序號(hào))
①若a∈R,則“<1”是“a>1”的必要不充分條件;
②“p∧q為真命題”是“p∨q為真命題”的必要不充分條件;
③若命題p:“x∈R,sin x+cos x≤”,則p是真命題;
④命題“x0∈R,+2x0+3<0”的否定是“x∈R,x2+2x+3>0”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ ,a∈R.
(1)若f(x)的最小值為0,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)證明:當(dāng)a=2時(shí),不等式f(x)≥ ﹣e1﹣x恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,,,,、分別是、的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸.
(1)確定a與b的關(guān)系;
(2)若a≥0,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.
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