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【題目】已知函數f(x)=alnx+ ,a∈R.
(1)若f(x)的最小值為0,求實數a的值;
(2)證明:當a=2時,不等式f(x)≥ ﹣e1x恒成立.

【答案】
(1)解:∵f(x)=alnx+ =alnx+

∴f′(x)= (x>0).

當a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是減函數,f(x)的最小值不為0;

當a>0時,f′(x)= =

當x∈(0, )時,f′(x)<0;當x∈( ,+∞)時,f′(x)>0.

∴f(x)在(0, )上為減函數,在( ,+∞)上為增函數,

= ,

令g(a)= ,則g′(a)= (a>0).

當a∈(0,2)時,g′(a)>0;當a∈(2,+∞)時,g′(a)<0,

∴g(a)在(0,2)上為增函數,在(2,+∞)上為減函數,則g(a)max=g(2)=0.

∴f(x)的最小值為0,實數a的值為2


(2)證明:當a=2時,f(x)=2lnx+ ,x>1,

令h(x)=f(x)﹣ +e1x=2lnx+

則h′(x)= = ,

記q(x)=2x2+x﹣2﹣x3e1x,則q′(x)=4x+1+x2(x﹣3)e1x,

∵x>1,0<e1x<1,

∴當1<x<3時,q′(x)>4x+1+x2(x﹣3)=x3﹣3x2+4x+1>0,

又∵當x≥3時,q′(x)=4x+1+x2(x﹣3)e1x>0,

∴當x>1時,q′(x)=4x+1+x2(x﹣3)e1x>0恒成立,

∴q(x)在(1,+∞)上單調遞增,q(x)>q(1)=2+1﹣2﹣1=0,

∴h′(x)>0恒成立,h(x)在(1,+∞)上單調遞增,

∴h(x)>h(1)=0+1﹣1﹣1+1=0,即當a=2時,不等式f(x)≥ ﹣e1x恒成立.


【解析】(1)求出原函數的導函數,對a分類分析,可知當a≤0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上是減函數,f(x)的最小值不為0;當a>0時,求出導函數的零點,可得原函數的單調性,求其最小值,由最小值為0進一步利用導數求得a值;(2)通過構造函數h(x)=2lnx+ ,問題轉化為證明h′(x)>0恒成立,進而再次構造函數,二次求導,整理即得結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減.

練習冊系列答案
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,所以,所以=

試題解析:

,

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因為C、M、B三點共線,所以,即

解得,所以

型】解答
束】
20

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日期

比賽隊

主場

客場

比賽時間

比賽地點

17年3月10日

新疆﹣遼寧

新疆

遼寧

20:00

烏魯木齊

17年3月12日

新疆﹣遼寧

新疆

遼寧

20:00

烏魯木齊

17年3月15日

遼寧﹣新疆

遼寧

新疆

20:00

本溪

17年3月17日

遼寧﹣新疆

遼寧

新疆

20:00

本溪

17年3月19日

遼寧﹣新疆

遼寧

新疆

20:00

本溪

17年3月22日

新疆﹣遼寧

新疆

遼寧

20:00

烏魯木齊

17年3月24日

新疆﹣遼寧

新疆

遼寧

20:00

烏魯木齊


(1)若考慮主場優(yōu)勢,每個隊主場獲勝的概率均為 ,客場取勝的概率均為 ,求遼寧隊以比分4:1獲勝的概率;
(2)根據以往資料統(tǒng)計,每場比賽組織者可獲得門票收入50萬元(與主客場無關),若不考慮主客場因素,每個隊每場比賽獲勝的概率均為 ,設本次半決賽中(只考慮這兩支隊)組織者所獲得的門票收入為X,求X的分布列及數學期望.

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