Question

6．已知曲線C：f（x）=x³-x+3
（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）；
（2）求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）運用導(dǎo)數(shù)的定義，求得△y，和f'（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$，計算即可得到所求；
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）△y=f（x+△x）-f（x）=（x+△x）³-（x+△x）+3-x³+x-3
=3x²△x+3x△x²+△x³-△x，
∴$\frac{△y}{△x}$=3x²+3x△x+△x²-1，
則導(dǎo)函數(shù)f'（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$（3x²+3x△x+△x²-1）=3x²-1；
（2）由f（x）得f′（x）=3x²-1，
設(shè)所求切線的斜率為k，
則k=f′（1）=3×1²-1=2，
又f（1）=1³-1+3=3，
所以切點坐標(biāo)為（1，3），
由點斜式得切線的方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義和運用：求切線的方程，注意運用定義法和直線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．