Question

15．函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+8-$\frac{a}{x}$）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=g（x）=x+8-$\frac{a}{x}$，則y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t為減函數(shù)，
若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞減，
則等價(jià)為g（x）=x+8-$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，
即g′（x）≥0在[1，+∞）上成立，
即g′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，即$\frac{a}{{x}^{2}}$≥-1，
則a≥-x²，
∵當(dāng)x≥1時(shí)，-x²≤-1，
∴a≥-1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）
故答案為：[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．