Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

2

|sinx-cosx|．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性和周期性；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令對數(shù)的真數(shù)大于0求出x的范圍為定義域，據(jù)三角函數(shù)的有界性求出值域．
（2）判斷函數(shù)的奇偶性先看定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件據(jù)函數(shù)最小正周期的定義，求出周期．
（3）函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，據(jù)符號函數(shù)的單調(diào)性同增異減，外函數(shù)是減函數(shù)，求出內(nèi)函數(shù)的遞增區(qū)間為函數(shù)的遞減區(qū)間；內(nèi)函數(shù)的遞減區(qū)間為函數(shù)的遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意得：sinx-cosx≠0，∴x≠kπ+

π

4

，
∴函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+

π

4

}，（k∈Z）．
由sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），得0＜|sinx-cosx|≤

2

，
∴f（x）=log 

1

2

|sinx-cosx|≥-

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-

1

2

，+∞）；
（2）因為f（x）定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點不關(guān)于原點對稱，故f（x）是非奇非偶函數(shù)，
f（x）=

log	|sinx-cosx| 1 2

=

log	| 2 sin(x- π 4 )| 1 2

=

log	|sin(x- π 4 )| 1 2

-

1

2

，
∵有絕對值，∴T=

2π

2

=π；
（3）∵函數(shù)y=|sinx-cosx|=

2

|sin（x-

π

4

）|，
由kπ＜x-

π

4

≤kπ+

π

2

，得：kπ+

π

4

＜x≤kπ+

3

4

π，
∴函數(shù)y=|sinx-cosx|在（kπ+

π

4

，kπ+

3

4

π]遞增，
由kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤kπ+π，得：kπ+

3

4

π≤x≤kπ+

5

4

π，
∴函數(shù)y=|sinx-cosx|在[kπ+

3

4

π，kπ+

5

4

π]遞減，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：
∴函數(shù)f（x）在（kπ+

π

4

，kπ+

3

4

π]遞減，在[kπ+

3

4

π，kπ+

5

4

π]遞增．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，屬于中檔題．