Question

函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（x）；           
（2）指出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，求a的取值集合．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)x＜0，則-x＞0，根據(jù)已知的函數(shù)解析式結(jié)合偶函數(shù)的定義式即可求出x＜0時的解析式，則問題獲解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）借助于函數(shù)圖象即可得到區(qū)間[a，2a+1]要滿足的關(guān)系式．

解答： 解：（1）函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
若x＜0，可得-x＞0，f（-x）=x²+4x+3，可得f（x）=f（-x）=x²+4x+3，
所以f(x)=

x2-4x+3，x≥0 x2+4x+3，x＜0

．
（2）由（1）得以f(x)=

x2-4x+3，x≥0 x2+4x+3，x＜0

．
畫出f（x）的圖象如下：

由圖象可知：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（2，+∞）和（-2，0）；單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，-2）和（0，2）；
（3）因為當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，結(jié)合（2）的圖象可以知道a與2a+1肯定在-4和4之間移動，
∴

0≤2a+1≤4 -4≤a≤0

解得-

1

2

≤a≤0，
若2a+1=4可得a=

3

2

，也滿足題意；
∴a的取值集合：{a|-

1

2

≤a≤0或a=

3

2

}．

點評：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的解析式、研究函數(shù)的圖象進一步研究函數(shù)的性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題，難度不大．