Question

2．棱長為1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出以下結論：
①AB₁⊥CD₁；
②四面體B₁D₁CA的體積為$\frac{1}{3}$；
③（S${\;}_{△AD{D_1}}}}$）²+（S${\;}_{△CD{D_1}}}}$）²+（S_△ADC）²=（S${\;}_{△AC{D_1}}}}$）²．
其中結論正確的為①②③．（寫出所有正確的結論的序號）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用異面直線所成角的概念判斷①；求出四面體B₁D₁CA的體積判斷②；通過計算說明③正確．

解答 解：如圖，

連接A₁B，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴A₁B∥CD₁，且A₁B⊥AB₁，
則AB₁⊥CD₁，故①正確；
${V}_{{B}_{1}{D}_{1}CA}={V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}-4{V}_{{B}_{1}-ABC}$=$1-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{3}$，故②正確；
連接BD交AC于O，連接D₁O，則D₁O⊥AC，則$O{D}_{1}=\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵（S${\;}_{△AD{D_1}}}}$）²+（S${\;}_{△CD{D_1}}}}$）²+（S_△ADC）²=$3×（\frac{1}{2}×1×1）^{2}=\frac{3}{4}$，
（S${\;}_{△AC{D_1}}}}$）²=$（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}=\frac{3}{4}$，
∴（S${\;}_{△AD{D_1}}}}$）²+（S${\;}_{△CD{D_1}}}}$）²+（S_△ADC）²=（S${\;}_{△AC{D_1}}}}$）²，故③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查棱柱的結構特征，考查空間想象能力和思維能力，考查了計算能力，是中檔題．