Question

19．某幾何體如圖所示，底面ABCD是邊長為2的正方形，ACFE是平行四邊形，AE=2，∠EAB=∠EAD=60°．
（1）求$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AE}$的值；
 （2）求|$\overrightarrow{AF}$|．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．過點(diǎn)E作EO⊥平面ABCD，垂足為O，過點(diǎn)O分別作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分別為M，N，連接EM，EN．可得AB⊥EM，AD⊥EN．在Rt△AEM中，AE=2，∠EAM=60°，則AM=1，同理AN=1．在Rt△AOM中，∠OAM=45°，可得OM=1，OA=$\sqrt{2}$．在Rt△AEO中，∠EAO=45°．可得：E$（1，1，\sqrt{2}）$，F(xiàn)$（3，3，\sqrt{2}）$，C（2，2，0），即可得出．
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{AF}$=$（3，3，\sqrt{2}）$．利用模的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
過點(diǎn)E作EO⊥平面ABCD，垂足為O，過點(diǎn)O分別作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分別為M，N，連接EM，EN．
則AB⊥EM，AD⊥EN．
在Rt△AEM中，AE=2，∠EAM=60°，則AM=1，同理AN=1．
在Rt△AOM中，∠OAM=45°，∴OM=1，OA=$\sqrt{2}$．
∴在Rt△AEO中，∠EAO=45°．
∴E$（1，1，\sqrt{2}）$，F(xiàn)$（3，3，\sqrt{2}）$，C（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AF}$=$（3，3，\sqrt{2}）$．
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AE}$=$3+3+\sqrt{2}×\sqrt{2}$=8；
（2）由（1）可得：$\overrightarrow{AF}$=$（3，3，\sqrt{2}）$．
∴$|\overrightarrow{AF}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．