Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²+ax+a
（1）若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)f（x）圖象的對稱中心是（-1，2）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)可化為在（1，2）上“f′（x）≥0恒成立”或“f′（x）≤0恒成立”，從而求解．
（2）在y=f（x）的圖象上任取點（x₀，y₀），其關(guān)于（-1，2）的對稱點為（x，y）；證明（x，y）也在y=f（x）的圖象上即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+6x+a=3（x+1）²+a-3，
若f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)，
則在（1，2）上“f′（x）≥0恒成立”或“f′（x）≤0恒成立”，
∴f′（1）=9+a≥0或f′（2）=24+a≤0，
即a≤-24或a≥-9．
（2）證明：在y=f（x）的圖象上任取點（x₀，y₀），其關(guān)于（-1，2）的對稱點為（x，y）；
則

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =2

，即

x0=-2-x y0=4-y

；
則4-y=（-2-x）³+3（-2-x）²+a（-2-x）+a，
整理可得，y=x³+3x²+ax+a，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于（-1，2）對稱的曲線方程仍為y=f（x），
即函數(shù)f（x）圖象的對稱中心是（-1，2）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了圖象的對稱性，屬于中檔題．