Question

已知函數(shù)f（x）=2+

f′(0)

x+1

-2f（0）•x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式e^x+x²-ax＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把函數(shù)f（x）=2+

f′(0)

x+1

-2f（0）•x求導(dǎo)，在導(dǎo)函數(shù)中取x=0得到關(guān)于f′（0）與f（0）的方程，在原函數(shù)解析式中取x=0得到另一方程，聯(lián)立求得f′（0）與f（0），則函數(shù)解析式可求；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^x+x²-ax-f（x），求其導(dǎo)函數(shù)，二次求導(dǎo)后得導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)，然后分2-a≥0與2-a＜0分類分析，求得a的范圍后取并集得答案．

解答： 解：（1）∵f′(x)=-

f′(0)

(x+1)2

-2f(0)，
∴f′（0）=-f′（0）-2f（0），
∴f′（0）=-f（0），
又∵f（0）=2+f′（0），
∴f（0）=1，f′（0）=-1，
即f(x)=2-

1

x+1

-2x；             
（2）令F（x）=e^x+x²-ax-f（x）=ex+x2+(2-a)x+

1

x+1

-2，
∴F′(x)=ex+2x+2-a-

1

(x+1)2

，
∵F″(x)=ex+2+

2

(x+1)3

＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F′（x）＞F′（0）=2-a．
①當(dāng)2-a≥0，即a≤2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（0）=0，
∴e^x+x²-ax＞f（x）在（0，+∞）上恒成立；
②當(dāng)2-a＜0，即a＞2時(shí)，
∵F′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且F′（0）＜0，x→+∞時(shí)，F(xiàn)′（x₁）→+∞，
∴存在x₁∈（0，+∞），使得F′（x₁）=0．
∴當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）＜F（0）=0不合題意．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及其常用方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法求解恒成立問題，是壓軸題．