Question

4．已知函數(shù)f（x）=x|x|+px+q（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①f（x）為奇函數(shù)的充要條件是q=0；
②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，q）對(duì)稱；
③當(dāng)p=0時(shí)，方程f（x）=0的解集一定非空；
④當(dāng)p≥0或p²≤4q或p²≤-4q時(shí)，方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)一定不超過(guò)2．
其中正確命題序號(hào)為①②③④．

Answer 1

分析 ①q=0時(shí)，可由奇函數(shù)的定義判斷正確，反過(guò)來(lái)也成立．②由①可知q=0時(shí)，f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f（x）=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個(gè)單位，故關(guān)于（0，q）對(duì)稱正確；③當(dāng)p=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x|（x∈R）是增函數(shù)，方程f（x）=0的解集一定非空；④中

解答 解：①q=0時(shí)，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，反之也成立，故①正確；
②由①可知q=0時(shí)，f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個(gè)單位，故關(guān)于（0，q）對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③當(dāng)p=0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)镽，方程f（x）=0的解集一定非空，故③正確；
對(duì)于④，方程x|x|+px+q=0包含兩個(gè)方程：當(dāng)x≥0時(shí)為x²+px+q=0（i）； 當(dāng)x≤0時(shí)為-x²+px+q=0，也就是x²-px-q=0（ii）．
（i）的判別式是△₁=p²-4q，如果△₁＞0，且x₁+x₂=-p＞0，x₁x₂=q＞0時(shí)，則有兩個(gè)正根，即方程（i）有兩正根的充要條件是：p²-4q＞0，p＜0，q＞0（1）； 
（ii）的判別式是△₂=p²+4q，如果△₂＞0，且x₁+x₂=p＜0，x₁x₂=-q＞0時(shí)，則有兩個(gè)負(fù)根；即方程（ii）有兩負(fù)根的充要條件是：p²+4q＞0，p＜0，q＜0（2）； 
條件（1）和（2）不能同時(shí)滿足，故方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)不可能為四個(gè)，
（iii）如果△₁＞0，且x₁+x₂=-p＞0，x₁x₂=q=0時(shí)，則有一個(gè)正根，一個(gè)零根，即方程（i）有一正根一零點(diǎn)的充要條件是：p²-4q＞0，p＜0，q=0（3），
（iiii）如果△₂＞0，且x₁+x₂=p＜0，x₁x₂=-q=0時(shí)，則有一個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根；即方程（ii）有有一個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根的充要條件是：p²+4q＞0，p＜0，q=0（3）； 
故條件（3）和條件（4）同時(shí)滿足時(shí)，方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)為三個(gè)，
故當(dāng)p≥0或p²≤4q或p²≤-4q時(shí)，方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)一定不超過(guò)2．故④正確． 
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．