Question

若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）=x³-3x²+1的值域為[-3，1]，則b-a的最大值是

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題先通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值，再利用方程得到相應(yīng)的邊界點，然后解不等式得到x的取值范圍，從而得到最大的區(qū)間[a，b]，求出b-a的最大值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時，f（x）有極大值，f（0）=1，
當(dāng)x=2時，f（x）有極小值，f（2）=2³-3×2²+1=-3，
∵當(dāng)f（x）=1時，x=0或x=3，
當(dāng)f（x）=-3時，x=2或x=-1，
∴若-3≤f（x）≤1，則-1≤x≤3．
∴定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）=x³-3x²+1的值域為[-3，1]，則b-a的最大值是1-（-3）=4．
故答案為：4．

點評：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的最值，還考查了數(shù)形結(jié)合思想，本題難度適中，計算量略大，屬于中檔題．