Question

8．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x（x+1）（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得存在實(shí)數(shù)m∈R^*，對(duì)任意x∈（0，m）都有-x²＜f（x）＜0？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，說明理由？

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出結(jié)論即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），
f′（x）=-$\frac{{2x}^{2}+3x-a+1}{x+1}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＞-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{{2x}^{2}+3x-a+1≤0}\end{array}\right.$，
△=8a+1，
①a≤-$\frac{1}{8}$時(shí)，△≤0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）遞減，
②a＞-$\frac{1}{8}$時(shí)，方程2x²+3x-a+1=0有2個(gè)根：
x₁=$\frac{-3-\sqrt{8a+1}}{4}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$，
-$\frac{1}{8}$＜a＜0時(shí)，-1＜x₁＜x₂，
∴f（x）在（-1，$\frac{-3-\sqrt{8a+1}}{4}$）遞減，在（$\frac{-3-\sqrt{8a+1}}{4}$，$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$）遞增，
在（$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$，+∞）遞減；
a≥0時(shí)，x₁≤-1，x₂＞-1，
∴f（x）在（-1，$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$）遞增，在（$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$，+∞）遞減；
（2）a＞1時(shí)，x₂=$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$＞0，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$）遞增，
故x∈（0，$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$）時(shí)，函數(shù)f（x）＞f（0）=0，
不存在滿足條件的區(qū)間（0，m）；
a≤1時(shí)，x₂=$\frac{-3+\sqrt{8a+1}}{4}$≤0，
由（1）得函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞減，
x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，
令h（x）=f（x）+x²，即h（x）=aln（x+1）-x，
則h′（x）=$\frac{a-1-x}{x+1}$，
a≤1，x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）遞減，
∴x＞0時(shí)，h（x）＜h（0）=0恒成立，即f（x）＜-x²恒成立，
∴不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．