【題目】如圖,在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中,四邊形為正方形,, ,.
(1)證明;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)證明出平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理可證明出,再利用空間平行線的傳遞性可得出結(jié)論;
(2)證明出平面平面,然后作,垂足為,可得出平面,由此以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,的方向?yàn)?/span>軸正方向,為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法能求出二面角的平面角的余弦值.
(1)四邊形為正方形,,
平面,平面,平面,
平面,平面平面,,因此,;
(),,,平面,
平面,平面平面,
作,垂足為,平面,平面平面,平面,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),方向?yàn)?/span>軸正方向,為軸正方向,為單位長(zhǎng),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
,,,.
,,
設(shè)平面的法向量為,
則,即,取,則,,所以, ,
又,,
設(shè)平面的法向量為,
則即,令,則,,,
設(shè)二面角的平面角為,.
即二面角的平面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓,動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程;
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),問是否在軸上存在一點(diǎn),使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)總有?若存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)無最小值,求整數(shù)的最小值與最大值之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作.其中有一個(gè)問題大意為:一年有二十四個(gè)節(jié)氣,每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同(即太陽照射物體影子的長(zhǎng)度增加和減少大小相同).二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示,若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸,夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),則夏至后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)為( )
A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,過橢圓:右焦點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn),且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2),為上的兩點(diǎn),若四邊形的對(duì)角線,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為,只要誤差的絕對(duì)值不超過就認(rèn)為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測(cè)其長(zhǎng)度,繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖:
(1)估計(jì)該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望;
(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí),該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為,只要誤差的絕對(duì)值不超過就認(rèn)為合格,工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件,檢測(cè)其長(zhǎng)度,繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖:
(1)估計(jì)該批次產(chǎn)品長(zhǎng)度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望;
(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率,要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí),該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的概率的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了參加上海的進(jìn)博會(huì),大力研發(fā)新產(chǎn)品,為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
試銷單價(jià)x(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產(chǎn)品銷量y(件) | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知.參考公式:,
(1)求出q的值;
(2)已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量y(件)關(guān)于試銷單價(jià)x(元)的線性回歸方程;
(3)用表示用正確的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值時(shí),則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè),求抽取的2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng).
(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率;
(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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