Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為F（0，-2

2

），對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-

9 2

4

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且使線段MN恰好被直線x=-

1

2

平分？若存在，求l的傾斜角θ的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，從而求出a，b，c，從而求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)存在直線l：y=kx+b．故橢圓交于M，N，線段MN中點(diǎn)為P（x₀，y₀）；從而求l的傾斜角θ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1；
由題意c=2

2

，

a2

2 2

=

9 2

4

⇒a2=9，b2=1．
∴橢圓方程為x2+

y2

9

=1
（Ⅱ）設(shè)存在直線l：y=kx+b．故橢圓交于M，N，線段MN中點(diǎn)為P（x₀，y₀）．
由

y=kx+b 9x2+y2=1

⇒(9+k2)x2+2kbx+b2-9=0
則判別式△=4k²b²-4（9+k²）（b²-9）=-36（b²-k²-9）＞0
得  b²-k²-9＜0①
又

x1+x2

2

=-

kb

9+k2

=-

1

2

⇒b=

9+k2

2k

．代入①
解得 k＞

3

或k＜-

3

，
∴θ∈(

π

3

，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)．

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線與直線的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．