Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 在橢圓：上，且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)(異于點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求的面積;

②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②詳見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題意，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求得的值，即可得到答案。

（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，①中，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而可求解三角形的面積；②中，直線 與橢圓聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線和斜率公式，即可判定，得到答案。

(1)因?yàn)?/span>，得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，

①直線:代入橢圓方程得：，

所以

所以=..

②直線，聯(lián)立方程組得：

，

則，

所以.

同理可得：

又因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，即，將三點(diǎn)坐標(biāo)

代入上式得：，化簡(jiǎn)得

整理得：，因?yàn)?/span>，所以即11分

又聯(lián)立得

所以

所以.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)或，

均滿足.

所以為定值.