Question

20．已知函數f（x）=$\frac{b-ax}{x}$+lnx（a、b∈R）．
（1）試討論函數f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）若b＞0且lnb=a-1，設g（b）=$\frac{a-1}$-m（m∈R），且函數g（x）有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，根據b的取值范圍，令f′（x）＞0，求得函數的單調遞增區(qū)間，f′（x）＜0，求得函數單調遞減區(qū)間；
（2）方法一，由題意，求得g（x），求導，利用導數求得函數的單調區(qū)間，由函數g（x）有兩個零點，需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，即可求得m的取值范圍，
方法二：由g（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，x＞0，數g（x）有兩個零點，即方程lmx-mx=0，在（0，+∞）有兩個解，求導，h′（x）=$\frac{1}{x}$-m，根據函數的單調性，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{b-ax}{x}$+lnx，求導f′（x）=-$\frac{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$（x＞0）…（1分）
①當b≤0時，f′（x）＞0恒成立，函數f（x）單調遞增，
所以f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無極值；…（3分）
②當b＞0時，x∈（0，b）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，x∈（b，+∞）時函數f（x）單調遞增，
所以函數的單調減區(qū)間為（0，b），函數的單調增區(qū)間為（b，+∞），…（5分）
有極小值f（b）=1-a+lnb，無極大值…（6分）
（2）法一：由b＞0且lnb=a-1，
代入g（b）=$\frac{a-1}$-m，可得：g（b）=$\frac{lnb}$-m  （b＞0）
所以：g（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，x＞0，…（7分）
g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，…（8分）
當x∈（0，e）時，g（x）＞0，所以函數g（x）在（0，e）遞增，
當x∈（e，+∞）時，g（x）＜0，所以函數g（x）在（e，+∞）遞減，
g（x）有極大值g（e）=$\frac{1}{e}$-m，…（10分）
當x→0（x＞0）時，g（x）→-∞，當x→+∞時，g（x）→-m，
故函數g（x）有兩個零點，需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，…（11分）
解得：0＜m＜$\frac{1}{e}$，
所以實數m的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．…（12分）
（2）法二：由b＞0且lnb=a-1，代入g（b）=$\frac{a-1}$-m，
可得：g（b）=$\frac{lnb}$-m  （b＞0）
所以：g（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，x＞0，…（7分）
由g（x）=0，可得lnx=mx，即lnx-mx=0，
函數g（x）有兩個零點，即方程lmx-mx=0，在（0，+∞）有兩個解…（8分）
設h（x）=lnx-mx，b＞0，h′（x）=$\frac{1}{x}$-m，…（9分）
①當m≤0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）單調遞增，不合題意，舍去．
②當m＞0時，由h′（x）＞0，得x＜$\frac{1}{m}$，由h′（x）＜0，得x＞$\frac{1}{m}$，
所以h（x）在（0，$\frac{1}{m}$）遞增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）遞減，…（10分）
方程lnx-mx=0，在（0，+∞）有兩個解，
只需：h（$\frac{1}{m}$）＞0，即：ln$\frac{1}{m}$-1＞0，…（11分）
解得：0＜m＜$\frac{1}{e}$，
所以實數m的取值范圍為：（0，$\frac{1}{e}$）．…（12分）

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性及極值，考查分類討論思想，屬于中檔題．