Question

5．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A為銳角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b+c=4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式以及變形、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由整體思想和正弦函數(shù)的遞增區(qū)間求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由條件和余弦定理列出方程，化簡(jiǎn)后由基本不等式、三邊關(guān)系求出a的范圍．

解答 解：（1）由題意可知，
$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（1-cos2x）+\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，…（3分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$
即f（x）的遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$，k∈Z．…（6分）
（2）由$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得，$sin（2A-\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A為銳角，
∴$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，∴$2A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，解得$A=\frac{π}{3}$，…（8分）
由b+c=4和余弦定理得，
a²=b²+c²-2cbcosA=（b+c）²-3bc=16-3bc，…（9分）
∵$bc≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴a²=16-3bc≥16-3×4=4，解得a≥2…（11分）
又a＜b+c=4，
∴a的取值范圍為2≤a＜4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，二倍角公式以及變形、兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及基本不等式的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．