Question

某化工企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為3元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)為x元（7≤x≤10）時(shí)，一年的產(chǎn)量為（11-x）²萬(wàn)件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售，則稱(chēng)該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護(hù)環(huán)境，用于污染治理的費(fèi)用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a（1≤a≤3）．
（Ⅰ）求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤(rùn)L（x）與出廠(chǎng)價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)定為多少元時(shí)，企業(yè)一年的利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）年利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×年產(chǎn)量-治理污染費(fèi)用；
（Ⅱ）求導(dǎo)L′（x）=（11-x ）（17+2a-3x），由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x．分①當(dāng)

19

3

≤

17+2a

3

≤7，②當(dāng)7＜

17+2a

3

≤

23

3

兩種情況討論可得最大值；

解答： 解：（Ⅰ）依題意，L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²
=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（Ⅱ）∵L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x ）（17+2a-3x）．
由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x=

17+2a

3

．
∵1≤a≤3，∴

19

3

≤

17+2a

3

≤

23

3

．
在x=

17+2a

3

的兩側(cè)L′（x）由正變負(fù)，
故①當(dāng)

19

3

≤

17+2a

3

≤7，即1≤a≤2時(shí)，L′（x）在[7，10]上恒為負(fù)，
∴L（x）在[7，10]上為減函數(shù)．
∴[L（x）]_max=L（7）=16（4-a）．
②當(dāng)7＜

17+2a

3

≤

23

3

，即2＜a≤3時(shí)，[L（x）]_max=L（

17+2a

3

）=

4

27

（8-a）³，
故1≤a≤2時(shí)，則當(dāng)每件產(chǎn)品出廠(chǎng)價(jià)為7元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為16（4-a）萬(wàn)元．當(dāng)2＜a≤3時(shí)，則每件產(chǎn)品出廠(chǎng)價(jià)為

17+2a

3

元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為

4

27

（8-a）³萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，構(gòu)建函數(shù)模型并用其解決問(wèn)題，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．