Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用中點(diǎn)引出中位線，進(jìn)一步得到線線平行，再利用線面平行的判定定理得到結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)直線間的兩兩垂直，盡力空間直角坐標(biāo)系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的數(shù)量積求出線面的夾角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：作FM∥CD交PC于M．
∵點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，
∴$FM=\frac{1}{2}CD$．
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
∴$AE=\frac{1}{2}AB=FM$，
又AE∥FM，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直線AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
進(jìn)一步求得：DE⊥DC，
則：建立空間直角坐標(biāo)系，
則 P（0，0，1），C（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0）．
所以：$\overrightarrow{AP}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{AB}=（0，1，0）$．
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，．
∵$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$，
則：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
所以平面PAB的法向量為：$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
∵$\overrightarrow{PC}=（0，1，-1）$，
∴設(shè)向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{PC}$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{PC}\right|}=-\frac{\sqrt{42}}{14}$，
∴PC平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系的建立，法向量的應(yīng)用，線面的夾角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的空間想象能力和應(yīng)用能力．