13.某校理科實(shí)驗(yàn)班的100名學(xué)生期中考試的語(yǔ)文數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于100分,其中語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,成績(jī)分組區(qū)間是:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比如下表所示:
分組區(qū)間[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)
x:y1:22:13:41:1
(Ⅰ)估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù);
(Ⅱ)從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱130,150]的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,該2人中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱140,150]的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望EX.

分析 (Ⅰ)根據(jù)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比,即可估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)題意得出X的可能取值,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率,求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望即可.

解答 解:(I)∵$0.05×2+0.4×\frac{1}{2}+0.3×\frac{4}{3}=0.7>0.5$,0.7-0.5=0.2,
∴這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是$130-10×\frac{0.2}{{0.3×\frac{4}{3}}}=125$;…(6分)
(II)∵數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,140)之內(nèi)的人數(shù)為$(2×0.05+\frac{1}{2}×0.4+\frac{4}{3}×0.3+0.2)×100=90$
∴數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱140,150]的人數(shù)為100-90=10人,
而數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱130,140)的人數(shù)為0.2×100=20人,X可取0,1,2,$P(X=0)=\frac{{C_{10}^0C_{20}^2}}{{C_{30}^2}}=\frac{38}{87}$,$P(X=1)=\frac{{C_{10}^1C_{20}^1}}{{C_{30}^2}}=\frac{40}{87}$,$P(X=2)=\frac{{C_{10}^2C_{20}^0}}{{C_{30}^2}}=\frac{3}{29}$,X分布列

X012
P$\frac{38}{87}$$\frac{40}{87}$$\frac{3}{29}$
∴$EX=0×\frac{38}{87}+1×\frac{40}{87}+2×\frac{3}{29}=\frac{2}{3}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了中位數(shù)以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.(1)已知三角形的頂點(diǎn)為A(2,4),B(0,-2),C(-2,3),線段AB的中點(diǎn)為M,求:AB邊上的中線CM所在直線的方程;
(2)已知圓心為E的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,-6),Q(1,-5),且圓心E在直線l:x-y+1=0上,求圓心為E的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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1.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的焦距為2$\sqrt{3}$,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為$\sqrt{2}$:1,點(diǎn)R(x0,y0)是橢圓上任意一點(diǎn),從原點(diǎn)O引圓R:(x-x02+(y-y02=2(x02≠2)的兩條切線分別交橢圓C于點(diǎn)M、N.
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8.某校體育教師至少擅長(zhǎng)籃球和足球中的一項(xiàng),現(xiàn)已知有5人擅長(zhǎng)籃球,2人擅長(zhǎng)足球,從該校的體育教師中隨機(jī)選出2人,設(shè)X為選出的2人中既擅長(zhǎng)籃球也擅長(zhǎng)足球的人數(shù),已知P(X>0)=$\frac{7}{10}$.
(Ⅰ)求該校的體育教師的人數(shù);
(Ⅱ)求X的分布列并計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望與方差.

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18.已知函數(shù)f(x)=lnx-2x.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),不等式f(x)≥-ax2+ax-2在x∈[1,e]上恒成立,求a的取值范圍.

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5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:直線AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC與平面PAB所成角的正弦值.

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2.現(xiàn)有6名學(xué)科競(jìng)賽優(yōu)勝者,其中語(yǔ)文學(xué)科是A1,A2,數(shù)學(xué)學(xué)科是B1,B2,B3,英語(yǔ)學(xué)科是C1,從競(jìng)賽優(yōu)勝者中選出3人組成一個(gè)代表隊(duì),要求代表隊(duì)中至少包含兩個(gè)學(xué)科.
(Ⅰ)用所給字母列出所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)設(shè)M為事件“代表隊(duì)中沒(méi)有英語(yǔ)優(yōu)勝者”,求事件M發(fā)生的概率.

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3.有限數(shù)列An:a1,a2,…,an.(n≥3)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
①對(duì)于任意的i,j(1≤i<j≤n),ai<aj;
②對(duì)于任意的i,j,k(1≤i<j<k≤n),aiaj,ajak,aiak三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列An中的項(xiàng).
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(Ⅱ)證明:2,3,5不可能是數(shù)列An中的項(xiàng);
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