Question

已知函數(shù)f（x）=m-|x-1|-2|x+1|．
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1處取得最大值m-2，故有m-2≥2，由此求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，f(x)=

3x+6，x＜-1 -x+2，-1≤x≤1 4-3x，x＞1

，由f（x）＞2可得

x＜-1 3x+6＞2

 ①，或

-1≤x≤1 -x+2＞2

 ②，或

x＞1 4-3x＞2

 ③．
解①求得-

4

3

＜x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得x∈∅，
易得不等式即4-3x＞2 解集為x∈(-

4

3

，0)．
（2）由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2，該函數(shù)在x=-1取得最小值2，
因?yàn)?span id="rc6ey6b" class="MathJye">f(x)=

3x+1+m，x＜-1 -x-3+m，-1≤x≤1 -3x+m-1，x＞1

在x=-1處取得最大值m-2，
所以要使二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點(diǎn)，只需m-2≥2，
求得m≥4．．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來解；還考查了函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．