Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）+

2a

x

（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設m，n是正數(shù)，且m≠n，求證：

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，對a分情況討論，（1）當0≤a≤2時，（2）當a＜0或a＞2時，求出導數(shù)為0的根，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把所證的式子利用對數(shù)的運算法則及不等式的基本性質(zhì)變形，即要證ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，根據(jù)題意得到g（x）在x≥1時單調(diào)遞增，且

m

n

＞1，利用函數(shù)的單調(diào)性可得證．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

，
令h（x）=x²-2ax+2a，由題意得x²（x-1）＞0，則△=4a²-8a=4a（a-2），對稱軸為x=a，
（1）當0≤a≤2時，h（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上遞增；
（2）當a＜0或a＞2時，h（x）=0的兩根為x1=a-

a2-2a

，x2=a+

a2-2a

，
由h（1）=1-2a+2a=1＞0，a＞2，得1＜x₁＜x₂，
當x∈（x₁，x₂）時，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x∈（1，x₁）∪（x₂，+∞）時，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以f（x）的遞增區(qū)間為(1，a-

a2-2a

)，(a+

a2-2a

，+∞)，
減區(qū)間為(a-

a2-2a

，a+

a2-2a

)．
a＜0時，對稱軸在y軸左邊，那么一根必然為負值，雖然有一根大于零，但由于此時h（1）=1-2a+2a=1＞0，也就是在對稱軸與1之間產(chǎn)生了一個零點，而函數(shù)定義域為（1，+∞），所以此時原函數(shù)在（1，+∞）恒為增函數(shù)．
（Ⅱ）要證

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

，只需證

m n -1

ln m n

＜

m n +1

2

，
即ln

m

n

＞

2( m n -1)

m n +1

，即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
設g(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

，
由題知g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又

m

n

＞1，所以g(

m

n

)＞g(1)=0，
即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0成立，得到

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，正確利用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．