Question

11．已知函數(shù)f（x）=xe^x，記f₀（x）=f′（x），f₁（x）=f′（x₀），…，f_n（x）=f′_n-1（x）且x₂＞x₁，對于下列命題：
①函數(shù)f（x）存在平行于x軸的切線；
②$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
③f′₂₀₁₂（x）=xe^x+2014e^x；
④f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁．
⑤當x₁＞0時，有x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）．
其中正確的命題序號是①③⑤（寫出所有滿足題目條件的序號）．

Answer 1

分析 根據(jù)導數(shù)的幾何意義判斷①正確，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷②錯；根據(jù)導數(shù)的運算，得到③正確，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系判斷④錯．根據(jù)函數(shù)的斜率關系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可以判斷⑤正確．

解答 解：①，∵f′（x）=（x+1）e^x，∴當x=-1時，f′（-1）=0，函數(shù)f（x）存在平行于x軸的切線，故①正確；
②，∵f′（x）=（x+1）e^x，∴x∈（-∞，-1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，x∈（-1，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0不能確定，故②錯；
③，∵f₁（x）=f′（x₀）=xe^x+2e^x，f₂（x）=f₁′（x）=xe^x+3e^x，…，f_n（x）=f′_n-1（x）=xe^x+（n+1）e^x，
∴f′₂₀₁₂（x）=f₂₀₁₃（x）=xe^x+2014e^x；故③正確；
④，f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁等價于f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，構(gòu)建函數(shù)h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1=（x+1）e^x-1，
易知函數(shù)h（x）在R上不單調(diào)，故④錯；
⑤，當x₁＞0時，有x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）．則等價為$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
即函數(shù)在點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））處，與原點的斜率滿足k_OA＜k_OB，
由②知函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則k_OA＜k_OB，成立，故⑤正確，
故答案為：①③⑤

點評 本題主要考查與導數(shù)有關的命題的真假判斷，考查了導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系，以及導數(shù)的運算法則，屬于中檔題