Question

3．函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x=1）}\\{{2}^{|x-1|}（x≠1）}\end{array}\right.$，若關于x的方程3|f（x）|²-（3a+4）•f（x）+4a=0有五個不同的實數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\frac{4}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，2）
• B． （1，$\frac{4}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）
• C． （1，2）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，利用換元法結合一元二次函數的圖象和性質即可．

解答 解：作出f（x）的圖象如圖：設t=f（x），
則方程等價為3t²-（3a+4）t+4a=0
由圖象可知，
若關于x的方程3|f（x）|²-（3a+4）•f（x）+4a=0
有五個不同的實數解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，
∴故先根據題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根．
所以有：a＞1．
再根據3|f（x）|²-（3a+4）•f（x）+4a=0有兩個不等實根，
則判別式△=（3a+4）²-4×3×4a＞0，
解得a≠$\frac{4}{3}$，
故1＜a＜$\frac{4}{3}$或x＞$\frac{4}{3}$，
故選B．

點評 本題主要考查函數和方程的應用，利用換元法結合一元二次函數的圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵