Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-x²-1，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個(gè)解，求p的 最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大值，由f（x）_max≥m，即可求得m的取值范圍；
（2）求得g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x），求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而求得p的最小值．

解答 解：（1）∵$f'（x）=2（{1+x}）-\frac{2}{x+1}$，且當(dāng)x≥0時(shí)，$1+x≥\frac{1}{x+1}$，
∵$f'（x）=2（{1+x}）-\frac{2}{x+1}$在[0，e-1]上有f'（x）≥0，
f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）在[0，e-1]上單調(diào)遞增，
得$f{（x）_{max}}=f（{e-1}）={e^2}-2$，
因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 上有實(shí)數(shù)解，
∴f（x）_max≥m，即m≤e²-2，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，e²-2]．
（2）∵g（x）=f（x）-x²-1=2x-2ln（1+x），
∴$g'（x）=2（{1-\frac{1}{x+1}}）$，
∵$g'（x）=2（{1-\frac{1}{x+1}}）$，在（-1，0）上g'（x）＜0，在（0，+∞），g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∵x的方程g（x）=p至少有一個(gè)解，
∴p≥0，p最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．