5.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),O軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(sinθ+cosθ+$\frac{1}{ρ}$).
(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程;
(2)在曲線C上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸,y軸的垂線,垂足分別為A,B,求矩形OAPB的面積的最大值.

分析 (1)由極坐標(biāo)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再寫(xiě)出參數(shù)方程即可,
(2)可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+2cosθ,1+2sinθ),表示出矩形OAPB的面積為S,再設(shè)t=sinθ+cosθ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

解答 解:(1)由$ρ=2(sinθ+cosθ+\frac{1}{ρ})$得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ+1),所以x2+y2=2x+2y+2,即(x-1)2+(y-1)2=4.
故曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=1+2sinθ\end{array}\right.$(θ為參數(shù)).
(2)由(1)可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+2cosθ,1+2sinθ),θ∈[0,2π),
則矩形OAPB的面積為S=|(1+2cosθ)(1+2sinθ)|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ)|
令$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})∈[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$,t2=1+2sinθcosθ,$S=|1+2t+2{t^2}-2|=|2{(t+\frac{1}{2})^2}-\frac{3}{2}|$,
故當(dāng)$t=\sqrt{2}$時(shí),${S_{max}}=3+2\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程,以及三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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15.設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)-m≥0在[0,e-1](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)g(x)=f(x)-x2-1,若關(guān)于x的方程g(x)=p至少有一個(gè)解,求p的 最小值.

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16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果是$\frac{15}{16}$,則整數(shù)N=( 。
A.16B.15C.14D.13

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13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是( 。
A.1B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{4}$D.2

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20.如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AE=1,AB=2,CD=3,E,F(xiàn)分別為AB,CD上的點(diǎn),以EF為軸將正方形ADFE向上翻折,使平面ADFE與平面BEFC垂直如圖2.
(1)求證:平面BDF⊥平面BCD;
(2)求多面體AEBDFC的體積.

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10.函數(shù)f(x)的定義域是[2,+∞),則函數(shù)y=$\frac{f(2x)}{x-2}$的定義域是[1,2)∪(2,+∞).

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1.如果一個(gè)正方體的體積在數(shù)值上等于V,表面積在數(shù)值上等于S,且V-S-m≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的范圍是( 。
A.(-∞,-16]B.(-∞,-32]C.[-32,-16]D.以上答案都不對(duì)

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18.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足,|$\overrightarrow{a}$|=2,|$\overrightarrow$|=4,且($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$)•$\overrightarrow$=-20.
(1)求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角;
(2)求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|.

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19.如圖,⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上的一點(diǎn),$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$,DE交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:PF•PO=PA•PB;
(2)若PD=4,PB=2,DF=$\frac{20}{7}$,求弦CD的弦心距.

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同步練習(xí)冊(cè)答案