Question

已知函數(shù)f（x）=ax-（2a-1）lnx+b．
（Ⅰ）若f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）當a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當a=1時，f（x）在區(qū)間(

1

e

，e)上恰有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)的零點,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x，建立方程組，即可求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）確定函數(shù)的定義域，當a＞0時，分類討論，利用導數(shù)的正負討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當a=1時，f（x）的最小值為f（1）=1+b，ff（x）在區(qū)間(

1

e

，e)上恰有一個零點，等價于f(1)=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

，即可求實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

…（1分）
依題意，

f′(1)=1-a=1 f(1)=a+b=1

…（2分）
解得：

a=0 b=1

…（4分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

=

a[x- (2a-1) a ]

x

①當0＜a≤

1

2

時，恒有f'（x）＞0故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）…（5分）
②當a＞

1

2

時，f′(x)=

a[x- (2a-1) a ]

x

，
令f'（x）=0得，x=

2a-1

a

＞0，…（6分）f（x）及f'（x）的值變化情況如下表：

x	(0， 2a-1 a )	2a-1 a	( 2a-1 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

…（8分）
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

2a-1

a

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

2a-1

a

，+∞)…（9分）
（Ⅲ）當a=1時，f（x）=x-lnx+b，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（1）=1+b．…（10分）
∵f(

1

e

)=

1

e

+1+b，f（e）=e-1+b，
∴f(

1

e

)-f(e)=

1

e

+1-e+1=2+

1

e

-e＜0
即：f(

1

e

)＜f(e)…（11分），
∵f（x）在區(qū)間(

1

e

，e)上恰有一個零點，
∴f(1)=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

即：1+b=0或

e-1+b＞0 1 e +1+b≤0

…（13分）
解得：b=-1或1-e＜b≤-1-

1

e

…（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，有難度．