Question

三棱錐ABCD中，BC=DC=AB=AD=

2

，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD的中點，P、Q分別為線段AO，BC上的動點，且AP=CQ，求三棱錐PQCO體積的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，由于BC=DC=AB=AD=

2

，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD的中點，可得AO⊥平面BCD，AO=OC=1，∠OCB=45°．設(shè)AP=x（0＜x＜1）．利用三棱錐PQCO體積V=

1

3

•OP•S△OCQ及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵BC=DC=AB=AD=

2

，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD的中點，
∴AO⊥平面BCD，
AO=OC=1，∠OCB=45°．
設(shè)AP=x（0＜x＜1）．
∴S△OCQ=

1

2

OC•CQ•sin45°=

1

2

×1•x•sin45°=

2

4

x．
∴三棱錐PQCO體積V=

1

3

•OP•S△OCQ
=

1

3

(1-x)•

2

4

x
=

2

12

x(1-x)≤

2

12

(

x+1-x

2

)2=

2

48

，當且僅當x=

1

2

時取等號．
∴三棱錐PQCO體積的最大值是

2

48

．

點評：本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．