Question

13．等差數(shù)列{a_n}中，若a₄=32，a₁₂=8．
（1）求通項公式a_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．
（3）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式求出公差d，再求出a_n；
（2）由（1）和等差數(shù)列的前n項公式求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）由（1）化簡b_n=|a_n|，根據(jù)正負(fù)項對n進行分類討論，變形后分別由（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由題意得，a₄=32，a₁₂=8，
則公差d=$\frac{{a}_{12}-{a}_{4}}{12-4}$=-$\frac{24}{8}$=-3，
所以a_n=a₄+（n-4）d=32-3（n-4）=-3n+44；
（2）由（1）可得，a_n=-3+44=41，
所以數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{n（41-3n+44）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}$；
（3）由（1）得，b_n=|a_n|=|-3n+44|，
所以當(dāng)n≤14時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n
=S_n=$\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}$，
當(dāng)n＞15時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₁₄-（a₁₅+a₁₆+…+a_n）=-S_n+2S₁₄
=-（$\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}$）+2×$\frac{-3×{14}^{2}+85×14}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-85n}{2}+602$，
綜上可得，${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{-3{n}^{2}+85n}{2}}\\{\frac{3{n}^{2}-85n}{2}+602}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及利用分類討論思想求數(shù)列的前n項和，考查化簡、計算能力，這是�？嫉念}型．