Question

5．已知函數(shù)f（x）=2asin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$acos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$（a≠0）的最大值為2．
（1）求a的值；
（2）若0≤θ≤π，求使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)的θ值；
（3）若a＞0，當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值，求得a的值．
（2）若0≤θ≤π，根據(jù)函數(shù)f（x）=2asin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù)，可得θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由此求得θ 的值．
（3）若a＞0，當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）=2asin（2x+$\frac{2π}{3}$），再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2asin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$acos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$
=asin（2x+θ）+$\sqrt{3}$acos（2x+θ）=2asin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）的最大值為2|a|=2，∴a=±1．
（2）若0≤θ≤π，函數(shù)f（x）=2asin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù)，則θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（3）若a＞0，當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）=2asin（2x+$\frac{2π}{3}$），
令 2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2k+$\frac{3π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值，屬于中檔題．