Question

13．求函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+2x-3}$，x∈（-1，1）∪（1，3）的值域．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，能夠判斷f′（x）＜0，從而f（x）在（-1，1）和（1，3）上單調(diào)遞減，f（x）在x=1處沒有定義，從而可考慮當x分別從左邊和右邊趨向1時，f（x）的取值情況，這樣便得到f（x）＜f（-1），或f（x）＞f（3），這樣便可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：$f′（x）=\frac{-（x+1）^{2}-4}{（{x}^{2}+2x-3）^{2}}＜0$；
∴f（x）在（-1，1），（1，3）單調(diào)遞減；
x從左邊趨向1時，f（x）趨向負無窮大，而x從右邊趨向1時，f（x）趨向正無窮大；
∴f（x）＜f（-1），或f（x）＞f（3）；
即f（x）＜0，或f（x）＞$\frac{1}{3}$；
∴原函數(shù)的值域為：（-∞，0）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域，注意本題要考慮當x趨向1時的f（x）的取值，并注意正確求導(dǎo)．