【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,側面SCD為鈍角三角形且垂直于底面ABCD,CD=SD,點M是SA的中點,AD//BC,∠ABC=90°,AB=ADBC=a.
(1)求證:平面MBD⊥平面SCD;
(2)若∠SDC=120°,求三棱錐C﹣MBD的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)a3.
【解析】
(1)取BC中點E,連接DE,則AB=AD=a,BC=2a.由題意可得:四邊形ABED為正方形,可得BD2+CD2=BC2,于是BD⊥CD,根據(jù)面面垂直的性質定理可得:BD⊥平面SCD,進而得出平面MBD⊥平面SCD.
(2)過點S作SH⊥CD,交CD的延長線于點H,連接AH.∠SDH為SD與底面ABCD所成的角,即∠SDH=60°.點M到平面ABCD的距離d=SH.可得三棱錐C﹣MBD的體積VBD×CDd.
(1)證明:取BC中點E,連接DE,則AB=AD=a,BC=2a.由題意可得:四邊形ABED為正方形,且BE=DE=CE=a,BD=CDa.
∴BD2+CD2=BC2,則BD⊥CD,又平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,
∴BD⊥平面SCD,BD平面MBD,∴平面MBD⊥平面SCD.
(2)解:過點S作SH⊥CD,交CD的延長線于點H,連接AH.
則∠SDH為SD與底面ABCD所成的角,即∠SDH=60°.
由(1)可得:SD=CDa,∴在Rt△SHD中,SDa,HDa,SHa.
∴點M到平面ABCD的距離da.
∴三棱錐C﹣MBD的體積VBD×CDda3.
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【題目】在極坐標系中,過曲線外的一點(其中,為銳角)作平行于的直線與曲線分別交于.
(Ⅰ) 寫出曲線和直線的普通方程(以極點為原點,極軸為 軸的正半軸建系);
(Ⅱ)若成等比數(shù)列,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在,上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在處的切線平行于軸,是否存在整數(shù),使不等式在時恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甘肅省是土地荒漠化較為嚴重的省份,一代代治沙人為了固沙、治沙,改善生態(tài)環(huán)境,不斷地進行研究與實踐,實現(xiàn)了沙退人進.年,古浪縣八步沙林場“六老漢”三代人治沙群體作為優(yōu)秀代表,被中宣部授予“時代楷模”稱號.在治沙過程中為檢測某種固沙方法的效果,治沙人在某一實驗沙丘的坡頂和坡腰各布設了個風蝕插釬,以測量風蝕值.(風蝕值是測量固沙效果的指標之一,數(shù)值越小表示該插釬處被風吹走的沙層厚度越小,說明固沙效果越好,數(shù)值為表示該插釬處沒有被風蝕)通過一段時間的觀測,治沙人記錄了坡頂和坡腰全部插釬測得的風蝕值(所測數(shù)據(jù)均不為整數(shù)),并繪制了相應的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)根據(jù)直方圖估計“坡腰處一個插釬風蝕值小于”的概率;
(Ⅱ)若一個插釬的風蝕值小于,則該數(shù)據(jù)要標記“”,否則不標記根據(jù)以上直方圖,完成列聯(lián)表:
標記 | 不標記 | 合計 | |
坡腰 | |||
坡頂 | |||
合計 |
并判斷是否有的把握認為數(shù)據(jù)標記“”與沙丘上插釬所布設的位置有關?
附:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(﹣∞,3)D.(﹣∞,3]
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【題目】某城市在進行創(chuàng)建文明城市的活動中,為了解居民對“創(chuàng)建文明城”的滿意程度,組織居民給活動打分(分數(shù)為整數(shù),滿分100分),從中隨機抽取一個容量為120的樣本,發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi).現(xiàn)將這些分數(shù)分成以下6組并畫出樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形則下列說法中有錯誤的是( )
A.第三組的頻數(shù)為18人
B.根據(jù)頻率分布直方圖估計眾數(shù)為75分
C.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分
D.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+acosx.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性.并證明當|a|≤2時函數(shù)f(x)只有一個極值點;
(2)當a=π時,求f(x)的最小值;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠根據(jù)市場需求開發(fā)三角花籃支架(如圖),上面為花籃,支架由三根細鋼管組成,考慮到鋼管的受力和花籃質量等因素,設計支架應滿足:①三根細鋼管長均為1米(粗細忽略不計),且與地面所成的角均為;②架面與架底平行,且架面三角形與架底三角形均為等邊三角形;③三根細鋼管相交處的節(jié)點分三根細鋼管上、下兩段之比均為.定義:架面與架底的距離為“支架高度”,架底三角形的面積與“支架高度”的乘積為“支架需要空間”.
(1)當時,求“支架高度”;
(2)求“支架需要空間”的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列四個結論:
①函數(shù)的最小正周期是;
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù);
③函數(shù)的圖象關于直線對稱;
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到其中所有正確結論的編號是( )
A.①②B.①③C.①②③D.①③④
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