Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：在區(qū)間上只有唯一的零點.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）證明過程見詳解.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，先討論，得到函數(shù)恒增，再討論，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)的方法，解對應(yīng)不等式，即可得出結(jié)果；

（2）先由（1），得到當(dāng)時，以及時，函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增的，再由，即可得出結(jié)論成立.

（1）因為，所以，

當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，

①當(dāng)時，，恒成立，

恒成立，此時在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令

由得或；

由得；

所以在和上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減；

綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減；

（2）由（1）知，當(dāng)時，在單調(diào)避增，，

此時在區(qū)間上有一個零點；

當(dāng)時，且，

在單調(diào)遞增；，此時在區(qū)間上有一個零點；

綜上可知，在區(qū)間上只有唯一的零點