Question

8．已知$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-3，2），若k$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$與2$\overrightarrow a$-4$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（-∞，-1）∪（-1，$\frac{50}{3}$）．

Answer 1

分析 先求出向量$k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$和$2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow$的坐標(biāo)，可設(shè)這兩個(gè)向量夾角為θ，從而可根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式即可求出$cosθ=\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}$，而根據(jù)θ為鈍角便可得出不等式$-1＜\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}＜0$，解該不等式便可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：$k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow=（k-6，2k+4）$，$2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow=（14，-4）$；
設(shè)$k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$與$2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow$的夾角為θ，則：
$cosθ=\frac{（k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow）}{|k\overrightarrow{a}+2\overrightarrow||2\overrightarrow{a}-4\overrightarrow|}$
=$\frac{14（k-6）-4（2k+4）}{\sqrt{（k-6）^{2}+（2k+4）^{2}}\sqrt{1{4}^{2}+{4}^{2}}}$
=$\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}•\sqrt{53}}$；
∵θ為鈍角；
∴-1＜cosθ＜0；
即$-1＜\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}＜0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k-50＜0}\\{\frac{3k-50}{\sqrt{5{k}^{2}+4k+52}\sqrt{53}}＞-1}\end{array}\right.$；
解得$k＜\frac{50}{3}$，且k≠-1；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為$（-∞，-1）∪（-1，\frac{50}{3}）$．
故答案為：$（-∞，-1）∪（-1，\frac{50}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，清楚鈍角余弦值的取值范圍，以及分式不等式的解法，不等式的性質(zhì)．